Izotop węgla ${}^{14}C$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany ${\beta }^{-}$.
Czas połowicznego rozpadu izotopu węgla ${}^{14}C$ wynosi $T=5730$ lat.

Podczas rozpadu jądra ${}^{14}C$ powstają: cząstka ${\beta }^{-}$, jądro pewnego pierwiastka, który ozznaczymy jako $X$, oraz tzw. antyneutrino elektronowe $\tilde{y}$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

W chwili $t_0=0$ s początkowo nieruchoma, sztywna platforma w kształcie koła o środku $S$ rozpoczyna obrót dookoła osi prostopadłej do platformy i przechodzącej przez $S$. Do chwili $t_1=8$ s platforma obraca się ze stałym przyśpieszeniem kątowym $ϵ$ i wykonuje w tym czasie dokładnie jeden obrót. W chwili $t_1$ platforma uzyskała prędkość kątową $\omega$. Od chwili $t_1$ platforma obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega$. Promień platformy wynosi $R=4$ m.

W chwili $t_0=0$ s początkowo nieruchoma, sztywna platforma w kształcie koła o środku $S$ rozpoczyna obrót dookoła osi prostopadłej do platformy i przechodzącej przez $S$. Do chwili $t_1=8$ s platforma obraca się ze stałym przyśpieszeniem kątowym $ϵ$ i wykonuje w tym czasie dokładnie jeden obrót. W chwili $t_1$ platforma uzyskała prędkość kątową $\omega$. Od chwili $t_1$ platforma obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega$. Promień platformy wynosi $R=4$ m.

W chwili $t_0=0$ s początkowo nieruchoma, sztywna platforma w kształcie koła o środku $S$ rozpoczyna obrót dookoła osi prostopadłej do platformy i przechodzącej przez $S$. Do chwili $t_1=8$ s platforma obraca się ze stałym przyśpieszeniem kątowym $ϵ$ i wykonuje w tym czasie dokładnie jeden obrót. W chwili $t_1$ platforma uzyskała prędkość kątową $\omega$. Od chwili $t_1$ platforma obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega$. Promień platformy wynosi $R=4$ m.

Ciała $C_1$ i $C_2$ mają różne masy i są bryłami w kształcie prostopadłościanów o takich samych wymiarach. Po włożeniu tych ciał do naczynia z wodą zaobserwowano, że:

• ciało $C_1$ pozostaje nieruchomo, przy czym $\frac{3}{4}$ objętości tego ciała jest zanurzone w wodzie

• ciało $C_2$ pozostaje nieruchomo całkowicie zanurzone w wodzie (i nie dotyka dna).

Przyjmij, że obserwację wykonano w układzie inercjalnym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Opisaną sytuację przedstawiono na poniższym rysunku.

Ciała $C_1$ i $C_2$ mają różne masy i są bryłami w kształcie prostopadłościanów o takich samych wymiarach. Po włożeniu tych ciał do naczynia z wodą zaobserwowano, że:

• ciało $C_1$ pozostaje nieruchomo, przy czym $\frac{3}{4}$ objętości tego ciała jest zanurzone w wodzie

• ciało $C_2$ pozostaje nieruchomo całkowicie zanurzone w wodzie (i nie dotyka dna).

Przyjmij, że obserwację wykonano w układzie inercjalnym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Opisaną sytuację przedstawiono na poniższym rysunku.

Walec W toczy się po poziomym płaskim podłożu wzdłuż osi $x$. Walec jest rozpędzany przez cienką linkę nawiniętą na jego powierzchnię boczną, która to linka jest ciągnięta ze stałą poziomą siłą $\vec{F}$ (zobacz rysunek 1.).

Moment bezwładności walca W względem jego osi symetrii przechodzącej przez środek masy $S$ walca jest równy:
$$I_0=\frac{1}{2}m{R}^2$$
gdzie $m$ jest masą walca, $R$ jest promieniem walca.
Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• walec toczył się bez poślizgu

• w kierunku poziomym na walec działały tylko stała siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$

• siła tarcia $\vec{T}$ między walcem a podłożem nie osiągnęła wartości maksymalnej

• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu

• ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z podłożem,
w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym

• pomijamy masę linki.

Walec W toczy się po poziomym płaskim podłożu wzdłuż osi $x$. Walec jest rozpędzany przez cienką linkę nawiniętą na jego powierzchnię boczną, która to linka jest ciągnięta ze stałą poziomą siłą $\vec{F}$ (zobacz rysunek 1.).

Moment bezwładności walca W względem jego osi symetrii przechodzącej przez środek masy $S$ walca jest równy:
$$I_0=\frac{1}{2}m{R}^2$$
gdzie $m$ jest masą walca, $R$ jest promieniem walca.
Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• walec toczył się bez poślizgu

• w kierunku poziomym na walec działały tylko stała siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$

• siła tarcia $\vec{T}$ między walcem a podłożem nie osiągnęła wartości maksymalnej

• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu

• ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z podłożem,
w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym

• pomijamy masę linki.

Satelity $S_A$ oraz $S_B$ poruszają się dookoła Ziemi po orbitach kołowych $O_A$ i $O_B$ jedynie pod wpływem siły grawitacji. Orbity tych satelitów leżą w jednej płaszczyźnie, a względne rozmiary obu orbit przedstawiono na rysunku poniżej.

Masy obu satelitów są sobie równe: $m_A=m_B=m$.

Promienie orbit kołowych $O_A$ oraz $O_B$ oznaczymy odpowiednio jako $r_A$ i $r_B$.

Długość boku pojedynczej kratki odpowiada umownej jednostce odległości.

Satelity $S_A$ oraz $S_B$ poruszają się dookoła Ziemi po orbitach kołowych $O_A$ i $O_B$ jedynie pod wpływem siły grawitacji. Orbity tych satelitów leżą w jednej płaszczyźnie, a względne rozmiary obu orbit przedstawiono na rysunku poniżej.

Masy obu satelitów są sobie równe: $m_A=m_B=m$.

Promienie orbit kołowych $O_A$ oraz $O_B$ oznaczymy odpowiednio jako $r_A$ i $r_B$.

Długość boku pojedynczej kratki odpowiada umownej jednostce odległości.

Satelity $S_A$ oraz $S_B$ poruszają się dookoła Ziemi po orbitach kołowych $O_A$ i $O_B$ jedynie pod wpływem siły grawitacji. Orbity tych satelitów leżą w jednej płaszczyźnie, a względne rozmiary obu orbit przedstawiono na rysunku poniżej.

Masy obu satelitów są sobie równe: $m_A=m_B=m$.

Promienie orbit kołowych $O_A$ oraz $O_B$ oznaczymy odpowiednio jako $r_A$ i $r_B$.

Długość boku pojedynczej kratki odpowiada umownej jednostce odległości.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego.

Stany gazu w początkowych i końcowych etapach poszczególnych przemian oznaczono symbolami: $G_1$, $G_2$, $G_3$, $G_4$.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego.

Stany gazu w początkowych i końcowych etapach poszczególnych przemian oznaczono symbolami: $G_1$, $G_2$, $G_3$, $G_4$.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego.

Stany gazu w początkowych i końcowych etapach poszczególnych przemian oznaczono symbolami: $G_1$, $G_2$, $G_3$, $G_4$.

Prostokątna ramka ABCD prądnicy obraca się w jednorodnym polu magnetycznym $\vec{B}$ ze stałą prędkością kątową $\omega =100\pi \frac{rad}{s}$. Na zaciskach X i Y prądnicy jest wytwarzane napięcie przemienne $U(t)$, którego zależność od czasu $t$ jest sinusoidalna:
$$U(t)=U_{max}sin(\omega t+{\varphi }_0)\text{ gdzie }{\varphi }_0\text{ - faza początkowa}$$
Napięcie skuteczne na zaciskach X, Y prądnicy jest równe $U_{sk}=24V$.
Do zacisków X, Y prądnicy podłączono opornik o oporze elektrycznym $R=10\Omega$.
Schemat tego obwodu zewnętrznego przedstawia rysunek 1.

Położenie (względem linii pola magnetycznego) obracającej się ramki ABCD prądnicy oraz prędkość $\vec{v}$ boku AB tej ramki, w chwili $t=0s$, przedstawiają rysunki 2. i 3.


W zadaniu pomijamy pole magnetyczne wytwarzane przez prąd płynący w ramce.

Prostokątna ramka ABCD prądnicy obraca się w jednorodnym polu magnetycznym $\vec{B}$ ze stałą prędkością kątową $\omega =100\pi \frac{rad}{s}$. Na zaciskach X i Y prądnicy jest wytwarzane napięcie przemienne $U(t)$, którego zależność od czasu $t$ jest sinusoidalna:
$$U(t)=U_{max}sin(\omega t+{\varphi }_0)\text{ gdzie }{\varphi }_0\text{ - faza początkowa}$$
Napięcie skuteczne na zaciskach X, Y prądnicy jest równe $U_{sk}=24V$.
Do zacisków X, Y prądnicy podłączono opornik o oporze elektrycznym $R=10\Omega$.
Schemat tego obwodu zewnętrznego przedstawia rysunek 1.

Położenie (względem linii pola magnetycznego) obracającej się ramki ABCD prądnicy oraz prędkość $\vec{v}$ boku AB tej ramki, w chwili $t=0s$, przedstawiają rysunki 2. i 3.


W zadaniu pomijamy pole magnetyczne wytwarzane przez prąd płynący w ramce.

Prostokątna ramka ABCD prądnicy obraca się w jednorodnym polu magnetycznym $\vec{B}$ ze stałą prędkością kątową $\omega =100\pi \frac{rad}{s}$. Na zaciskach X i Y prądnicy jest wytwarzane napięcie przemienne $U(t)$, którego zależność od czasu $t$ jest sinusoidalna:
$$U(t)=U_{max}sin(\omega t+{\varphi }_0)\text{ gdzie }{\varphi }_0\text{ - faza początkowa}$$
Napięcie skuteczne na zaciskach X, Y prądnicy jest równe $U_{sk}=24V$.
Do zacisków X, Y prądnicy podłączono opornik o oporze elektrycznym $R=10\Omega$.
Schemat tego obwodu zewnętrznego przedstawia rysunek 1.

Położenie (względem linii pola magnetycznego) obracającej się ramki ABCD prądnicy oraz prędkość $\vec{v}$ boku AB tej ramki, w chwili $t=0s$, przedstawiają rysunki 2. i 3.


W zadaniu pomijamy pole magnetyczne wytwarzane przez prąd płynący w ramce.

Na diagramie 1. przedstawiono aktualne położenie względne obserwatora O i dwóch
galaktyk $\alpha$ oraz $\beta$. Odległości między $\alpha$, $\beta$ oraz O są rzędu dziesiątek milionów lat świetlnych.

Na płaszczyźnie diagramu 1. naniesiono siatkę ukazującą stosunki odległości między $\alpha$, $\beta$ oraz O. Długość boku kratki na diagramie 1. odpowiada umownej jednostce odległości.

Przyjmij następujące założenia:

• prędkości oddalania się galaktyk $\alpha$ oraz $\beta$ od obserwatora O wynikają jedynie z rozszerzania się Wszechświata (pomijamy ruchy lokalne galaktyk)

• Wszechświat rozszerza się tak samo we wszystkich kierunkach

• przestrzeń ma euklidesową geometrię.

Na diagramie 1. przedstawiono aktualne położenie względne obserwatora O i dwóch
galaktyk $\alpha$ oraz $\beta$. Odległości między $\alpha$, $\beta$ oraz O są rzędu dziesiątek milionów lat świetlnych.

Na płaszczyźnie diagramu 1. naniesiono siatkę ukazującą stosunki odległości między $\alpha$, $\beta$ oraz O. Długość boku kratki na diagramie 1. odpowiada umownej jednostce odległości.

Przyjmij następujące założenia:

• prędkości oddalania się galaktyk $\alpha$ oraz $\beta$ od obserwatora O wynikają jedynie z rozszerzania się Wszechświata (pomijamy ruchy lokalne galaktyk)

• Wszechświat rozszerza się tak samo we wszystkich kierunkach

• przestrzeń ma euklidesową geometrię.