Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie (zobacz rysunek poniżej). Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $\beta$.

Przyjmij następujące dane:

• promienie walców są sobie równe: $R_1=R_2=R$
• masy walców są sobie równe: $m_1=m_2=m$ (walce wykonano z różnych materiałów)
• momenty bezwładności walców W1 i W2 względem osi każdego z nich wyrażają się – odpowiednio – wzorami: $$I_1=k_{1}m{R}^2\text{oraz}{I}_2=k_{2}m{R}^2$$ gdzie $k_1$ i $k_2$ są pewnymi współczynnikami oraz $k_1\ne k_2$.

Uwzględnij następujące założenia i warunki:

• siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
• ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Fale dźwiękowe o dużych częstotliwościach (np. ultradźwięki) mogą w ośrodkach rozchodzić się w postaci wąskich wiązek. Gdy wiązka fali ultradźwiękowej pada na granicę dwóch ośrodków, to – w zależności m.in. od kąta padania na tę granicę – może częściowo wniknąć do drugiego ośrodka i częściowo się odbić od granicy albo może całkowicie się odbić od granicy ośrodków.

W zadaniu przyjmij, że:

• wartość prędkości dźwięku w powietrzu jest równa $v_p=340\text{ m/s}$
• wartość prędkości dźwięku w wodzie jest równa $v_w=1450\text{ m/s}$.

Zwróć uwagę na to, że wartość prędkości dźwięku w wodzie jest większa od wartości prędkości dźwięku w powietrzu.

Fale dźwiękowe o dużych częstotliwościach (np. ultradźwięki) mogą w ośrodkach rozchodzić się w postaci wąskich wiązek. Gdy wiązka fali ultradźwiękowej pada na granicę dwóch ośrodków, to – w zależności m.in. od kąta padania na tę granicę – może częściowo wniknąć do drugiego ośrodka i częściowo się odbić od granicy albo może całkowicie się odbić od granicy ośrodków.

W zadaniu przyjmij, że:

• wartość prędkości dźwięku w powietrzu jest równa $v_p=340\text{ m/s}$
• wartość prędkości dźwięku w wodzie jest równa $v_w=1450\text{ m/s}$.

Zwróć uwagę na to, że wartość prędkości dźwięku w wodzie jest większa od wartości prędkości dźwięku w powietrzu.

Mały głośnik G1 jest źródłem kulistej fali dźwiękowej w powietrzu. Przyjmij, że energia tej fali dźwiękowej rozchodzi się tak samo we wszystkich kierunkach od głośnika G1.

W zadaniach 4.1.–4.2. pomijamy efekty związane z odbiciem fali dźwiękowej od przeszkód w otoczeniu oraz z pochłanianiem tej fali w ośrodku.

Mały głośnik G1 jest źródłem kulistej fali dźwiękowej w powietrzu. Przyjmij, że energia tej fali dźwiękowej rozchodzi się tak samo we wszystkich kierunkach od głośnika G1.

W zadaniach 4.1.–4.2. pomijamy efekty związane z odbiciem fali dźwiękowej od przeszkód w otoczeniu oraz z pochłanianiem tej fali w ośrodku.

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową.

Poniżej podano niektóre dane dotyczące ruchu orbitalnego Chirona oraz Ziemi względem Słońca (podane odległości są zaokrąglone do części dziesiętnych jednostki astronomicznej):

• najmniejsza odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_P=8,5\text{ au}$
• największa odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_A=18,9\text{ au}$
• odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $a_Z=1,0\text{ au}$
• okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_Z=1,00\text{ rok ziemski}$.

W zadaniu pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch Chirona oraz na ruch Ziemi. Orbitę Chirona (z zachowaniem skali elipsy) zilustrowano na rysunku poniżej.

Wskazówka do zadań 5.1. i 5.3.: Okres obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej $a$ jest równy okresowi obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $r=a$.

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową.

Poniżej podano niektóre dane dotyczące ruchu orbitalnego Chirona oraz Ziemi względem Słońca (podane odległości są zaokrąglone do części dziesiętnych jednostki astronomicznej):

• najmniejsza odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_P=8,5\text{ au}$
• największa odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_A=18,9\text{ au}$
• odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $a_Z=1,0\text{ au}$
• okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_Z=1,00\text{ rok ziemski}$.

W zadaniu pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch Chirona oraz na ruch Ziemi. Orbitę Chirona (z zachowaniem skali elipsy) zilustrowano na rysunku poniżej.

Wskazówka do zadań 5.1. i 5.3.: Okres obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej $a$ jest równy okresowi obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $r=a$.

Planetoida Chiron obiega Słońce po orbicie eliptycznej, a Ziemia obiega Słońce po orbicie, którą w przybliżeniu możemy potraktować jako kołową.

Poniżej podano niektóre dane dotyczące ruchu orbitalnego Chirona oraz Ziemi względem Słońca (podane odległości są zaokrąglone do części dziesiętnych jednostki astronomicznej):

• najmniejsza odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_P=8,5\text{ au}$
• największa odległość Chirona od środka Słońca jest równa $r_A=18,9\text{ au}$
• odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $a_Z=1,0\text{ au}$
• okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_Z=1,00\text{ rok ziemski}$.

W zadaniu pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch Chirona oraz na ruch Ziemi. Orbitę Chirona (z zachowaniem skali elipsy) zilustrowano na rysunku poniżej.

Wskazówka do zadań 5.1. i 5.3.: Okres obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej $a$ jest równy okresowi obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $r=a$.

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego. Przyjmij, że:

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową
• temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są – odpowiednio – równe $T_1,p_1\text{ i }{V}_1$
• stany gazu: $A,B,C,X$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
• liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$.

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego. Przyjmij, że:

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową
• temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są – odpowiednio – równe $T_1,p_1\text{ i }{V}_1$
• stany gazu: $A,B,C,X$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
• liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$.

Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego. Przyjmij, że:

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową
• temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są – odpowiednio – równe $T_1,p_1\text{ i }{V}_1$
• stany gazu: $A,B,C,X$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
• liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$.

Za pomocą cienkiej soczewki szklanej S umieszczonej w powietrzu uzyskano ostry obraz $A^{\prime }{B}^{\prime }$ przedmiotu $AB$.

Na rysunku poniżej przedstawiono położenie przedmiotu $AB$ oraz położenie jego obrazu $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Punkty $A$ i $A^{\prime }$ leżą na osi optycznej soczewki S.

Przyjmij, że długość boku kratki na rysunku odpowiada w rzeczywistości 1 cm.

Za pomocą cienkiej soczewki szklanej S umieszczonej w powietrzu uzyskano ostry obraz $A^{\prime }{B}^{\prime }$ przedmiotu $AB$.

Na rysunku poniżej przedstawiono położenie przedmiotu $AB$ oraz położenie jego obrazu $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Punkty $A$ i $A^{\prime }$ leżą na osi optycznej soczewki S.

Przyjmij, że długość boku kratki na rysunku odpowiada w rzeczywistości 1 cm.

Wiązka niespolaryzowanego światła o natężeniu $I$ pada prostopadle na polaryzator liniowy ${\mathcal{P}}_1$. Światło, które przeszło przez polaryzator ${\mathcal{P}}_1$, dalej pada prostopadle na polaryzator liniowy ${\mathcal{P}}_2$. Opisaną sytuację przedstawia rysunek 1. Przyjmij następujące warunki i oznaczenia:

• natężenie światła po przejściu przez ${\mathcal{P}}_1$ oznaczymy jako $I_1$, przy czym $I_1=\frac{1}{2}I$
• natężenie światła po przejściu przez ${\mathcal{P}}_2$ oznaczymy jako $I_2$
• kąt między osiami polaryzacji $O_1$ oraz $O_2$ polaryzatorów ${\mathcal{P}}_1$ oraz ${\mathcal{P}}_2$ oznaczymy jako $\alpha$
• amplitudę fali elektromagnetycznej (amplitudę natężenia pola elektrycznego) po przejściu przez ${\mathcal{P}}_1$ oznaczymy jako ${\vec{E}}_1$, a po przejściu przez ${\mathcal{P}}_2$ oznaczymy jako ${\vec{E}}_2$. Wartości tych wektorów oznaczymy – odpowiednio – jako $E_1$ oraz $E_2$
• natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali elektromagnetycznej: $$I\propto E^2$$

Na rysunku 2. przedstawiono widok w płaszczyźnie równoległej do obu polaryzatorów. Oznaczono na nim osie polaryzacji $O_1$ oraz $O_2$ obu polaryzatorów oraz wektor ${\vec{E}}_1$.

Wiązka niespolaryzowanego światła o natężeniu $I$ pada prostopadle na polaryzator liniowy ${\mathcal{P}}_1$. Światło, które przeszło przez polaryzator ${\mathcal{P}}_1$, dalej pada prostopadle na polaryzator liniowy ${\mathcal{P}}_2$. Opisaną sytuację przedstawia rysunek 1. Przyjmij następujące warunki i oznaczenia:

• natężenie światła po przejściu przez ${\mathcal{P}}_1$ oznaczymy jako $I_1$, przy czym $I_1=\frac{1}{2}I$
• natężenie światła po przejściu przez ${\mathcal{P}}_2$ oznaczymy jako $I_2$
• kąt między osiami polaryzacji $O_1$ oraz $O_2$ polaryzatorów ${\mathcal{P}}_1$ oraz ${\mathcal{P}}_2$ oznaczymy jako $\alpha$
• amplitudę fali elektromagnetycznej (amplitudę natężenia pola elektrycznego) po przejściu przez ${\mathcal{P}}_1$ oznaczymy jako ${\vec{E}}_1$, a po przejściu przez ${\mathcal{P}}_2$ oznaczymy jako ${\vec{E}}_2$. Wartości tych wektorów oznaczymy – odpowiednio – jako $E_1$ oraz $E_2$
• natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali elektromagnetycznej: $$I\propto E^2$$

Na rysunku 2. przedstawiono widok w płaszczyźnie równoległej do obu polaryzatorów. Oznaczono na nim osie polaryzacji $O_1$ oraz $O_2$ obu polaryzatorów oraz wektor ${\vec{E}}_1$.

Rozważamy przejścia elektronu pomiędzy stanami (poziomami) energetycznymi w atomie wodoru. Przejście elektronu ze stanu energetycznego o numerze $n$ i energii $E_n$ do stanu energetycznego o numerze $k$ i energii $E_k$ oznaczymy w zadaniu jako $n\to k$.

Rozważamy przejścia elektronu pomiędzy stanami (poziomami) energetycznymi w atomie wodoru. Przejście elektronu ze stanu energetycznego o numerze $n$ i energii $E_n$ do stanu energetycznego o numerze $k$ i energii $E_k$ oznaczymy w zadaniu jako $n\to k$.

Izotop plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $\alpha$.

Podczas rozpadu jądra tego izotopu plutonu powstają cząstka $\alpha$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X.

Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $\alpha$:

• iloraz masy jądra pierwiastka X i masy cząstki $\alpha$ wynosi w zaokrągleniu $$\frac{m_X}{m_{\alpha }}\approx 58,5$$
• w chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ było nieruchome
• wartości prędkości jądra pierwiastka X i cząstki $\alpha$ – powstałych po rozpadzie jądra plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ – są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.