Izotop neonu ${}^{\text{23}}\text{Ne}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany ${\beta }^{-}$.

W wyniku tego rozpadu powstają: cząstka ${\beta }^{-}$ (elektron), jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X, oraz antyneutrino elektronowe $\tilde{\nu }$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

Izotop neonu ${}^{\text{23}}\text{Ne}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany ${\beta }^{-}$.

W wyniku tego rozpadu powstają: cząstka ${\beta }^{-}$ (elektron), jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X, oraz antyneutrino elektronowe $\tilde{\nu }$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

Izotop neonu ${}^{\text{23}}\text{Ne}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany ${\beta }^{-}$.

W wyniku tego rozpadu powstają: cząstka ${\beta }^{-}$ (elektron), jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X, oraz antyneutrino elektronowe $\tilde{\nu }$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

Dwa słupy $S_A$ i $S_B$ znajdują się w doświadczalnej komorze próżniowej. Ze słupa $S_A$ rzucono kulkę $K_A$, a ze słupa $S_B$ rzucono kulkę $K_B$. Prędkości początkowe obu kulek były skierowane poziomo, każda w stronę przeciwnego słupa. Obie kulki upadły w tym samym punkcie $P$.

Opisaną sytuację ilustruje poglądowy rysunek poniżej.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• odległość między słupami wynosi $d=4,8\text{ m}$
• wysokości słupów $S_A$ i $S_B$ są – odpowiednio – równe: $h_A=5,0\text{ m}$ oraz $h_B=7,2\text{ m}$
• wartość prędkości początkowej kulki $K_A$ jest równa $v_{0A}=3,0\text{ m/s}$
• przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{ m/s}}^2$

oraz

• kulki poruszają się bez działania sił oporu
• ruchy opisujemy w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• kulki traktujemy jako punkty materialne
• podłoże, na które upadają kulki, jest poziome.

Dwa słupy $S_A$ i $S_B$ znajdują się w doświadczalnej komorze próżniowej. Ze słupa $S_A$ rzucono kulkę $K_A$, a ze słupa $S_B$ rzucono kulkę $K_B$. Prędkości początkowe obu kulek były skierowane poziomo, każda w stronę przeciwnego słupa. Obie kulki upadły w tym samym punkcie $P$.

Opisaną sytuację ilustruje poglądowy rysunek poniżej.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• odległość między słupami wynosi $d=4,8\text{ m}$
• wysokości słupów $S_A$ i $S_B$ są – odpowiednio – równe: $h_A=5,0\text{ m}$ oraz $h_B=7,2\text{ m}$
• wartość prędkości początkowej kulki $K_A$ jest równa $v_{0A}=3,0\text{ m/s}$
• przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{ m/s}}^2$

oraz

• kulki poruszają się bez działania sił oporu
• ruchy opisujemy w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• kulki traktujemy jako punkty materialne
• podłoże, na które upadają kulki, jest poziome.

Do końca linki o długości $l$ doczepiono kulkę K o masie $m$.

Maksymalna wartość siły napięcia linki, po której przekroczeniu linka ulega zerwaniu, jest równa wartości dwukrotnego ciężaru kulki: $F_{nmax}=2mg$.

Przyjmij, że:

• linka jest nierozciągliwa, masę linki pomijamy
• przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{m/s}}^2$
• pomijamy siły oporów działające na kulkę
• kulkę traktujemy jako punkt materialny
• ruch kulki opisujemy w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Do końca linki o długości $l$ doczepiono kulkę K o masie $m$.

Maksymalna wartość siły napięcia linki, po której przekroczeniu linka ulega zerwaniu, jest równa wartości dwukrotnego ciężaru kulki: $F_{nmax}=2mg$.

Przyjmij, że:

• linka jest nierozciągliwa, masę linki pomijamy
• przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{m/s}}^2$
• pomijamy siły oporów działające na kulkę
• kulkę traktujemy jako punkt materialny
• ruch kulki opisujemy w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Klocek A porusza się ze stałą prędkością ${\vec{v}}_1$ w stronę nieruchomego klocka B (zobacz rysunek 1.). Do klocka B jest przymocowana sprężyna o współczynniku sprężystości $k$. W pewnym momencie dochodzi do zderzenia klocków. Podczas tego zderzenia sprężyna najpierw jest ściskana, a następnie się rozpręża, w wyniku czego klocek A hamuje, a klocek B przyspiesza (zobacz rysunki 1.–3.).

Przyjmij następujące dane i założenia:

• gdy sprężyna jest maksymalnie ściśnięta, to jej odkształcenie względem długości swobodnej oznaczymy jako $\Delta x_{max}$
• gdy sprężyna jest maksymalnie ściśnięta, to wartości prędkości obu klocków są sobie równe i wynoszą $v_2$
• masy klocków są sobie równe: $m_A=m_B=m$

oraz

• pomijamy tarcie obu klocków o podłoże oraz opory powietrza
• pomijamy masę sprężyny
• wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na klocek, jest wprost proporcjonalna do zmiany długości sprężyny względem jej długości swobodnej
• zderzenie klocków jest idealnie sprężyste.

Klocek A porusza się ze stałą prędkością ${\vec{v}}_1$ w stronę nieruchomego klocka B (zobacz rysunek 1.). Do klocka B jest przymocowana sprężyna o współczynniku sprężystości $k$. W pewnym momencie dochodzi do zderzenia klocków. Podczas tego zderzenia sprężyna najpierw jest ściskana, a następnie się rozpręża, w wyniku czego klocek A hamuje, a klocek B przyspiesza (zobacz rysunki 1.–3.).

Przyjmij następujące dane i założenia:

• gdy sprężyna jest maksymalnie ściśnięta, to jej odkształcenie względem długości swobodnej oznaczymy jako $\Delta x_{max}$
• gdy sprężyna jest maksymalnie ściśnięta, to wartości prędkości obu klocków są sobie równe i wynoszą $v_2$
• masy klocków są sobie równe: $m_A=m_B=m$

oraz

• pomijamy tarcie obu klocków o podłoże oraz opory powietrza
• pomijamy masę sprężyny
• wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na klocek, jest wprost proporcjonalna do zmiany długości sprężyny względem jej długości swobodnej
• zderzenie klocków jest idealnie sprężyste.

Bryła sztywna $\mathcal{B}$ składa się z cienkiej obręczy o masie $M$ i o promieniu $R$ oraz z dwóch jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości $l_{\text{pręt}}=2R$ i o masie $m_{\text{pręt}}=\frac{M}{2}$ (zobacz rysunek poniżej).\n\nPoczątkowo bryła $\mathcal{B}$ toczy się po poziomym odcinku $XY$ drogi tak, że prędkość środka masy $O$ bryły jest stała, a jej wartość jest równa $v_{\mathcal{B}}=1,4\text{m/s}$.\n\nOd punktu $Y$ bryła $\mathcal{B}$ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość prędkości środka masy $O$ bryły zaczyna maleć.\n\nPrzyjmij, że:\n- bryła toczy się cały czas bez poślizgu\n- obręcz i pręty są jednorodne\n- punkty $P_1$ i $P_2$ na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem\n- poziomy odcinek drogi $XY$ łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)\n- przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{m/s}}^2$\n- opory powietrza nie występują.\n\nNa poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.\n\n\n\nW tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem opisanych osi obrotu.\n\n

Bryła sztywna $\mathcal{B}$ składa się z cienkiej obręczy o masie $M$ i o promieniu $R$ oraz z dwóch jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości $l_{\text{pręt}}=2R$ i o masie $m_{\text{pręt}}=\frac{M}{2}$ (zobacz rysunek poniżej).\n\nPoczątkowo bryła $\mathcal{B}$ toczy się po poziomym odcinku $XY$ drogi tak, że prędkość środka masy $O$ bryły jest stała, a jej wartość jest równa $v_{\mathcal{B}}=1,4\text{m/s}$.\n\nOd punktu $Y$ bryła $\mathcal{B}$ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość prędkości środka masy $O$ bryły zaczyna maleć.\n\nPrzyjmij, że:\n- bryła toczy się cały czas bez poślizgu\n- obręcz i pręty są jednorodne\n- punkty $P_1$ i $P_2$ na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem\n- poziomy odcinek drogi $XY$ łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)\n- przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{m/s}}^2$\n- opory powietrza nie występują.\n\nNa poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.\n\n\n\nW tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem opisanych osi obrotu.\n\n

Bryła sztywna $\mathcal{B}$ składa się z cienkiej obręczy o masie $M$ i o promieniu $R$ oraz z dwóch jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości $l_{\text{pręt}}=2R$ i o masie $m_{\text{pręt}}=\frac{M}{2}$ (zobacz rysunek poniżej).\n\nPoczątkowo bryła $\mathcal{B}$ toczy się po poziomym odcinku $XY$ drogi tak, że prędkość środka masy $O$ bryły jest stała, a jej wartość jest równa $v_{\mathcal{B}}=1,4\text{m/s}$.\n\nOd punktu $Y$ bryła $\mathcal{B}$ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość prędkości środka masy $O$ bryły zaczyna maleć.\n\nPrzyjmij, że:\n- bryła toczy się cały czas bez poślizgu\n- obręcz i pręty są jednorodne\n- punkty $P_1$ i $P_2$ na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem\n- poziomy odcinek drogi $XY$ łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)\n- przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{m/s}}^2$\n- opory powietrza nie występują.\n\nNa poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.\n\n\n\nW tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem opisanych osi obrotu.\n\n

Bryła sztywna $\mathcal{B}$ składa się z cienkiej obręczy o masie $M$ i o promieniu $R$ oraz z dwóch jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości $l_{\text{pręt}}=2R$ i o masie $m_{\text{pręt}}=\frac{M}{2}$ (zobacz rysunek poniżej).\n\nPoczątkowo bryła $\mathcal{B}$ toczy się po poziomym odcinku $XY$ drogi tak, że prędkość środka masy $O$ bryły jest stała, a jej wartość jest równa $v_{\mathcal{B}}=1,4\text{m/s}$.\n\nOd punktu $Y$ bryła $\mathcal{B}$ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość prędkości środka masy $O$ bryły zaczyna maleć.\n\nPrzyjmij, że:\n- bryła toczy się cały czas bez poślizgu\n- obręcz i pręty są jednorodne\n- punkty $P_1$ i $P_2$ na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem\n- poziomy odcinek drogi $XY$ łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)\n- przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{m/s}}^2$\n- opory powietrza nie występują.\n\nNa poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.\n\n\n\nW tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem opisanych osi obrotu.\n\n

Bryła sztywna $\mathcal{B}$ składa się z cienkiej obręczy o masie $M$ i o promieniu $R$ oraz z dwóch jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości $l_{\text{pręt}}=2R$ i o masie $m_{\text{pręt}}=\frac{M}{2}$ (zobacz rysunek poniżej).\n\nPoczątkowo bryła $\mathcal{B}$ toczy się po poziomym odcinku $XY$ drogi tak, że prędkość środka masy $O$ bryły jest stała, a jej wartość jest równa $v_{\mathcal{B}}=1,4\text{m/s}$.\n\nOd punktu $Y$ bryła $\mathcal{B}$ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość prędkości środka masy $O$ bryły zaczyna maleć.\n\nPrzyjmij, że:\n- bryła toczy się cały czas bez poślizgu\n- obręcz i pręty są jednorodne\n- punkty $P_1$ i $P_2$ na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem\n- poziomy odcinek drogi $XY$ łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)\n- przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{m/s}}^2$\n- opory powietrza nie występują.\n\nNa poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.\n\n\n\nW tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem opisanych osi obrotu.\n\n

Wartość prędkości dźwięku rozchodzącego się w gazie doskonałym można wyrazić wzorem:

$$v=\sqrt{\kappa \cdot \frac{x}{\rho }}$$

gdzie:

• $\kappa =\frac{c_p}{c_v}$ jest ilorazem ciepła molowego przy stałym ciśnieniu i ciepła molowego przy stałej objętości
• $\rho$ jest gęstością gazu
• $x$ jest pewną wielkością.

Wartość prędkości dźwięku rozchodzącego się w gazie doskonałym można wyrazić wzorem:

$$v=\sqrt{\kappa \cdot \frac{x}{\rho }}$$

gdzie:

• $\kappa =\frac{c_p}{c_v}$ jest ilorazem ciepła molowego przy stałym ciśnieniu i ciepła molowego przy stałej objętości
• $\rho$ jest gęstością gazu
• $x$ jest pewną wielkością.

Satelita $S$ o masie $m$ krąży po orbicie kołowej $O$ wokół planety $P$. Ruch tego satelity odbywa się jedynie pod wpływem siły grawitacji planety $P$.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• masa planety $P$ wynosi $M=4,0\cdot 10^{22}$ kg
• promień planety $P$ wynosi $R=1000$ km
• promień orbity kołowej $O$ wynosi $r=2000$ km
• planeta $P$ ma sferycznie symetryczny rozkład masy
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz planety $P$) na ruch satelity $S$.

Satelita $S$ o masie $m$ krąży po orbicie kołowej $O$ wokół planety $P$. Ruch tego satelity odbywa się jedynie pod wpływem siły grawitacji planety $P$.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• masa planety $P$ wynosi $M=4,0\cdot 10^{22}$ kg
• promień planety $P$ wynosi $R=1000$ km
• promień orbity kołowej $O$ wynosi $r=2000$ km
• planeta $P$ ma sferycznie symetryczny rozkład masy
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz planety $P$) na ruch satelity $S$.

Satelita $S$ o masie $m$ krąży po orbicie kołowej $O$ wokół planety $P$. Ruch tego satelity odbywa się jedynie pod wpływem siły grawitacji planety $P$.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• masa planety $P$ wynosi $M=4,0\cdot 10^{22}$ kg
• promień planety $P$ wynosi $R=1000$ km
• promień orbity kołowej $O$ wynosi $r=2000$ km
• planeta $P$ ma sferycznie symetryczny rozkład masy
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz planety $P$) na ruch satelity $S$.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• liczba moli gazu jest równa $n=2$ mole
• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową
• stany gazu: $A,B,C$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
• przemiana $C\to A$ jest izotermiczna.