Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec – ciągnięty przez linkę – rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustrują rysunki 1. i 2.Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I=\frac{1}{2}m{R}^2$
• pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca
• zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym
• siła tarcia statycznego $\vec{T}$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu.

Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec – ciągnięty przez linkę – rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustrują rysunki 1. i 2.Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I=\frac{1}{2}m{R}^2$
• pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca
• zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym
• siła tarcia statycznego $\vec{T}$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu.

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{\acute{z}r}=3\text{ GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_z$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f|=750\text{ kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$.

Przyjmij, że $v\ll c$ oraz $c\approx 3\cdot 10^8\text{ m/s}$.

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{\acute{z}r}=3\text{ GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_z$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f|=750\text{ kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$.

Przyjmij, że $v\ll c$ oraz $c\approx 3\cdot 10^8\text{ m/s}$.

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{\acute{z}r}=3\text{ GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_z$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f|=750\text{ kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$.

Przyjmij, że $v\ll c$ oraz $c\approx 3\cdot 10^8\text{ m/s}$.

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{\acute{z}r}=3\text{ GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_z$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f|=750\text{ kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$.

Przyjmij, że $v\ll c$ oraz $c\approx 3\cdot 10^8\text{ m/s}$.

Sagittarius A${}^{\ast }$ (Sgr A${}^{\ast }$) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A${}^{\ast }$ po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A${}^{\ast }$ wynosi $T_{S2}=16\text{ lat ziemskich}$
• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_P=120\text{ au}$
• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_A=1820\text{ au}$.

Przyjmij, że Sgr A${}^{\ast }$ się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.

Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $\vec{v}$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

Sagittarius A${}^{\ast }$ (Sgr A${}^{\ast }$) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A${}^{\ast }$ po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A${}^{\ast }$ wynosi $T_{S2}=16\text{ lat ziemskich}$
• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_P=120\text{ au}$
• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_A=1820\text{ au}$.

Przyjmij, że Sgr A${}^{\ast }$ się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.

Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $\vec{v}$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

Sagittarius A${}^{\ast }$ (Sgr A${}^{\ast }$) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A${}^{\ast }$ po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A${}^{\ast }$ wynosi $T_{S2}=16\text{ lat ziemskich}$
• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_P=120\text{ au}$
• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_A=1820\text{ au}$.

Przyjmij, że Sgr A${}^{\ast }$ się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.

Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $\vec{v}$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

Sagittarius A${}^{\ast }$ (Sgr A${}^{\ast }$) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A${}^{\ast }$ po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A${}^{\ast }$ wynosi $T_{S2}=16\text{ lat ziemskich}$
• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_P=120\text{ au}$
• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A${}^{\ast }$ jest równa $r_A=1820\text{ au}$.

Przyjmij, że Sgr A${}^{\ast }$ się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.

Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $\vec{v}$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się $n=1\text{ mol}$ jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom.

• W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu $Q_1=100\text{ J}$ ciepła.
• W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu $Q_2=100\text{ J}$ ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie.

Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową.

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się $n=1\text{ mol}$ jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom.

• W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu $Q_1=100\text{ J}$ ciepła.
• W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu $Q_2=100\text{ J}$ ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie.

Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową.

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się $n=1\text{ mol}$ jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom.

• W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu $Q_1=100\text{ J}$ ciepła.
• W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu $Q_2=100\text{ J}$ ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie.

Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową.

Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów $AF$, $FB$, $BE$, $EC$, $CD$ (zobacz rysunek). Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio – $B_{AF},B_{FB},B_{BE},B_{EC},B_{CD}$.

W chwili początkowej $t_A=0$ proton znajdował się w punkcie $A$ i miał prędkość $\vec{v}$ (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Dalej proton poruszał się po opisanym torze i po pewnym czasie uderzył w tarczę znajdującą się w punkcie $D$. Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu $AF$ wynosiła $B_{AF}=0,2\text{ T}$. Długości odcinków na poniższym rysunku spełniają równości:$$|AB|=|BC|=|CS|=|SD|=|DE|=|EF|\text{oraz}|AD|=1\text{ m}$$W zadaniach 7.1.–7.3. pomijamy siłę grawitacji działającą na proton.

Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów $AF$, $FB$, $BE$, $EC$, $CD$ (zobacz rysunek). Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio – $B_{AF},B_{FB},B_{BE},B_{EC},B_{CD}$.

W chwili początkowej $t_A=0$ proton znajdował się w punkcie $A$ i miał prędkość $\vec{v}$ (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Dalej proton poruszał się po opisanym torze i po pewnym czasie uderzył w tarczę znajdującą się w punkcie $D$. Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu $AF$ wynosiła $B_{AF}=0,2\text{ T}$. Długości odcinków na poniższym rysunku spełniają równości:$$|AB|=|BC|=|CS|=|SD|=|DE|=|EF|\text{oraz}|AD|=1\text{ m}$$W zadaniach 7.1.–7.3. pomijamy siłę grawitacji działającą na proton.

Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów $AF$, $FB$, $BE$, $EC$, $CD$ (zobacz rysunek). Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio – $B_{AF},B_{FB},B_{BE},B_{EC},B_{CD}$.

W chwili początkowej $t_A=0$ proton znajdował się w punkcie $A$ i miał prędkość $\vec{v}$ (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Dalej proton poruszał się po opisanym torze i po pewnym czasie uderzył w tarczę znajdującą się w punkcie $D$. Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu $AF$ wynosiła $B_{AF}=0,2\text{ T}$. Długości odcinków na poniższym rysunku spełniają równości:$$|AB|=|BC|=|CS|=|SD|=|DE|=|EF|\text{oraz}|AD|=1\text{ m}$$W zadaniach 7.1.–7.3. pomijamy siłę grawitacji działającą na proton.

Do produkcji włókien tradycyjnych żarówek wykorzystywano bardzo cienkie druty wolframowe. Gdy przez włókno wolframowe pewnej żarówki płynął prąd o niewielkim natężeniu, to włókno utrzymywało temperaturę $T_0=300\text{ K}$, a jego opór wynosił $R_0\approx 65\Omega$. Po podłączeniu tej żarówki do sieci o napięciu $230\text{ V}$ pobierała ona moc (znamionową) $60\text{ W}$. Wówczas włókno rozgrzewało się do wysokiej temperatury, a jego opór był wielokrotnie większy od $R_0$.

Na poniższym wykresie linią ciągłą przedstawiono zależność $R/R_0$ od temperatury $T$, gdzie $R$ oznacza opór włókna wolframowego o temperaturze $T$. W zakresie temperatur od $300\text{ K}$ do $1000\text{ K}$ ta zależność ma w przybliżeniu charakter liniowy (tzn. jej wykres pokrywa się częściowo z linią prostą narysowaną przerywaną kreską).

Do produkcji włókien tradycyjnych żarówek wykorzystywano bardzo cienkie druty wolframowe. Gdy przez włókno wolframowe pewnej żarówki płynął prąd o niewielkim natężeniu, to włókno utrzymywało temperaturę $T_0=300\text{ K}$, a jego opór wynosił $R_0\approx 65\Omega$. Po podłączeniu tej żarówki do sieci o napięciu $230\text{ V}$ pobierała ona moc (znamionową) $60\text{ W}$. Wówczas włókno rozgrzewało się do wysokiej temperatury, a jego opór był wielokrotnie większy od $R_0$.

Na poniższym wykresie linią ciągłą przedstawiono zależność $R/R_0$ od temperatury $T$, gdzie $R$ oznacza opór włókna wolframowego o temperaturze $T$. W zakresie temperatur od $300\text{ K}$ do $1000\text{ K}$ ta zależność ma w przybliżeniu charakter liniowy (tzn. jej wykres pokrywa się częściowo z linią prostą narysowaną przerywaną kreską).

Do produkcji włókien tradycyjnych żarówek wykorzystywano bardzo cienkie druty wolframowe. Gdy przez włókno wolframowe pewnej żarówki płynął prąd o niewielkim natężeniu, to włókno utrzymywało temperaturę $T_0=300\text{ K}$, a jego opór wynosił $R_0\approx 65\Omega$. Po podłączeniu tej żarówki do sieci o napięciu $230\text{ V}$ pobierała ona moc (znamionową) $60\text{ W}$. Wówczas włókno rozgrzewało się do wysokiej temperatury, a jego opór był wielokrotnie większy od $R_0$.

Na poniższym wykresie linią ciągłą przedstawiono zależność $R/R_0$ od temperatury $T$, gdzie $R$ oznacza opór włókna wolframowego o temperaturze $T$. W zakresie temperatur od $300\text{ K}$ do $1000\text{ K}$ ta zależność ma w przybliżeniu charakter liniowy (tzn. jej wykres pokrywa się częściowo z linią prostą narysowaną przerywaną kreską).

Promień światła monochromatycznego biegnie w powietrzu i pada na brzeg szklanego krążka w punkcie $A$. Kąt padania w punkcie $A$ jest równy $\alpha$, a kąt załamania tego promienia jest równy $\beta$. Część promienia, która wniknęła do szkła w punkcie $A$, pada dalej na brzeg krążka w punkcie $D$. Na rysunku 1. (poniżej) oraz na rysunku 2.(zadanie 9.2) przedstawiono bieg promienia tylko do punktu $D$, przy czym pominięto część promienia odbitą w punkcie $A$.

Kreskami przerywanymi oznaczono odcinki pomocnicze. Punkt $O$ jest środkiem krążka.