Zadanie 5.3 — Astronomia · Matura 2023, poziom Rozszerzony

Matura 2023 • Maj • Rozszerzony • Nowa formuła • Zad. 5.3

2 pkt

AstronomiaGrawitacja

Informacja do zadania:

Sagittarius A $^{*}$ (Sgr A $^{*}$ ) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A $^{*}$ po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

okres obiegu S2 dookoła Sgr A $^{*}$ wynosi $T_{S 2} = 16 lat ziemskich$
najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A $^{*}$ jest równa $r_{P} = 120 au$
największa odległość środka S2 od centrum Sgr A $^{*}$ jest równa $r_{A} = 1820 au$ .

Przyjmij, że Sgr A

^{*}

się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.

Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $v$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie. Rysunek 1

Informacja dodatkowa:

Załóżmy, że ciało $C_{1}$ krąży po orbicie $O_{1}$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_{1}$ , a ciało $C_{2}$ krąży po orbicie $O_{2}$ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_{2}$ . Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas $M_{1}$ i $M_{2}$ można obliczyć ze wzoru: $\frac{M _{1}}{M _{2}} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{3} \cdot (\frac{T _{2}}{T _{1}})^{2}$ gdzie: $T_{1}$ i $T_{2}$ są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio – $O_{1}$ i $O_{2}$ , natomiast $a_{1}$ i $a_{2}$ zależą od rodzaju orbity:

gdy orbity $O_{1}$ i $O_{2}$ są kołowe, to $a_{1}$ i $a_{2}$ są odpowiednio promieniami tych orbit
gdy orbita $O_{1}$ jest eliptyczna, a orbita $O_{2}$ jest kołowa, to $a_{1}$ jest długością półosi wielkiej orbity $O_{1}$ , natomiast $a_{2}$ jest promieniem orbity $O_{2}$ .

Zadanie 5.3

Masę obiektu Sgr A $^{*}$ oznaczymy jako $M_{S A}$ , a masę Słońca oznaczymy jako $M_{S}$ .

Przyjmij, że Ziemia porusza się dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $a_{Z} = 1, 0 au$ z okresem obiegu $T_{Z} = 1, 0 rok$ . Długość półosi wielkiej orbity gwiazdy S2, poruszającej się wokół obiektu Sgr A $^{*}$ , zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1., jest równa $\frac{∣ P A ∣}{2}$ .

Oblicz iloraz $\frac{M _{S A}}{M _{S}}$ . Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.