Bryła sztywna $B$ składa się z cienkiej obręczy o masie $M$ i o promieniu $R$ oraz z dwóch jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości $l_{\text{pręt}}=2R$ i o masie $m_{\text{pręt}}=\frac{M}{2}$ (zobacz rysunek poniżej).

Początkowo bryła $B$ toczy się po poziomym odcinku $XY$ drogi tak, że prędkość środka masy $O$ bryły jest stała, a jej wartość jest równa $v_B=1,4\text{ m/s}$.

Od punktu $Y$ bryła $B$ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość prędkości środka masy $O$ bryły zaczyna maleć.

Przyjmij, że:

• bryła toczy się cały czas bez poślizgu
• obręcz i pręty są jednorodne
• punkty $P_1$ i $P_2$ na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem
• poziomy odcinek drogi $XY$ łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)
• przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{ m/s}}^2$
• opory powietrza nie występują.

Na poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.

W tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem opisanych osi obrotu.

Bryła	Oś	Moment bezwładności
Pręt o długości $l_{\text{pręt}}$ i o masie $m_{\text{pręt}}$	Oś prostopadła do pręta, przechodząca przez jego środek	$I_{0\text{ pręt}}=\frac{1}{12}{m}_{\text{pręt}}{l}_{\text{pręt}}^2$
Obręcz o promieniu $R$ i o masie $M$	Oś prostopadła do płaszczyzny obręczy, przechodząca przez jej środek	$I_{0\text{ obręcz}}=M{R}^2$
Bryła $B$ (złożona z obręczy i prętów)	Oś prostopadła do bryły (czyli do płaszczyzny obręczy), przechodząca przez jej środek masy $O$ (oś $O$)	$I_{0B}=\frac{4}{3}M{R}^2$

Wartość prędkości dźwięku rozchodzącego się w gazie doskonałym można wyrazić wzorem:

$$v=\sqrt{\kappa \cdot \frac{x}{\rho }}$$

gdzie:

• $\kappa =\frac{c_p}{c_V}$ jest ilorazem ciepła molowego przy stałym ciśnieniu i ciepła molowego przy stałej objętości
• $\rho$ jest gęstością gazu
• $x$ jest pewną wielkością.

Wartość prędkości dźwięku rozchodzącego się w gazie doskonałym można wyrazić wzorem:

$$v=\sqrt{\kappa \cdot \frac{x}{\rho }}$$

gdzie:

• $\kappa =\frac{c_p}{c_V}$ jest ilorazem ciepła molowego przy stałym ciśnieniu i ciepła molowego przy stałej objętości
• $\rho$ jest gęstością gazu
• $x$ jest pewną wielkością.

Satelita $S$ o masie $m$ krąży po orbicie kołowej $O$ wokół planety $P$. Ruch tego satelity odbywa się jedynie pod wpływem siły grawitacji planety $P$.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• masa planety $P$ wynosi $M=4,0\cdot 10^{22}\text{ kg}$
• promień planety $P$ wynosi $R=1000\text{ km}$
• promień orbity kołowej $O$ wynosi $r=2000\text{ km}$
• planeta $P$ ma sferycznie symetryczny rozkład masy
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz planety $P$) na ruch satelity $S$.

Satelita $S$ o masie $m$ krąży po orbicie kołowej $O$ wokół planety $P$. Ruch tego satelity odbywa się jedynie pod wpływem siły grawitacji planety $P$.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• masa planety $P$ wynosi $M=4,0\cdot 10^{22}\text{ kg}$
• promień planety $P$ wynosi $R=1000\text{ km}$
• promień orbity kołowej $O$ wynosi $r=2000\text{ km}$
• planeta $P$ ma sferycznie symetryczny rozkład masy
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz planety $P$) na ruch satelity $S$.

Satelita $S$ o masie $m$ krąży po orbicie kołowej $O$ wokół planety $P$. Ruch tego satelity odbywa się jedynie pod wpływem siły grawitacji planety $P$.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• masa planety $P$ wynosi $M=4,0\cdot 10^{22}\text{ kg}$
• promień planety $P$ wynosi $R=1000\text{ km}$
• promień orbity kołowej $O$ wynosi $r=2000\text{ km}$
• planeta $P$ ma sferycznie symetryczny rozkład masy
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz planety $P$) na ruch satelity $S$.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• liczba moli gazu jest równa $n=2\text{ mole}$

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową

• stany gazu: $A,B,C$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu

• przemiana $C\to A$ jest izotermiczna.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• liczba moli gazu jest równa $n=2\text{ mole}$

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową

• stany gazu: $A,B,C$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu

• przemiana $C\to A$ jest izotermiczna.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Przyjmij następujące dane i założenia:

• liczba moli gazu jest równa $n=2\text{ mole}$

• ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową

• stany gazu: $A,B,C$, znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu

• przemiana $C\to A$ jest izotermiczna.

Podczas przejścia elektronu w atomie wodoru ze stanu (poziomu) energetycznego o numerze $n\in \{3,4,5,6\}$ do stanu energetycznego o numerze $k=2$ jest emitowany foton z zakresu światła widzialnego. Takie przejście oznaczymy jako $n\to 2$.

Długość fali, częstotliwość oraz energię fotonu emitowanego przez atom wodoru podczas przejścia $n\to 2$ oznaczymy – odpowiednio – jako ${\lambda }_{n2}$, $f_{n2}$ oraz $E_{n2}$.

Podczas przejścia elektronu w atomie wodoru ze stanu (poziomu) energetycznego o numerze $n\in \{3,4,5,6\}$ do stanu energetycznego o numerze $k=2$ jest emitowany foton z zakresu światła widzialnego. Takie przejście oznaczymy jako $n\to 2$.

Długość fali, częstotliwość oraz energię fotonu emitowanego przez atom wodoru podczas przejścia $n\to 2$ oznaczymy – odpowiednio – jako ${\lambda }_{n2}$, $f_{n2}$ oraz $E_{n2}$.

Spoczywające jądro żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu ${\beta }^{-}$, w wyniku którego powstają: cząstka ${\beta }^{-}$ (elektron), jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$, a także antyneutrino elektronowe $\bar{\nu }$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

W tym procesie jądro ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym może rozpadać się do niektórych stanów wzbudzonych jądra kobaltu. Rozważmy takie procesy, że jądro ${}^{59}\text{Fe}$ rozpadło się do jednego z pewnych dwóch stanów wzbudzonych jądra kobaltu: ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{X})}$ albo ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{Y})}$. Wartości energii spoczynkowej jąder kobaltu w tych stanach wzbudzonych X, Y wynoszą odpowiednio:

• $E_{\text{X Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,10\text{MeV}$
• $E_{\text{Y Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,29\text{MeV}$

gdzie $E_{\text{0 Co}}$ oznacza energię spoczynkową jądra ${}^{59}\text{Co}$ w stanie podstawowym.

Następnie wzbudzone jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$ przechodzi do stanu podstawowego i emituje przy tym foton $\gamma$. Możliwe schematy całego procesu przedstawiono na diagramach 1.–2. poniżej.

Energia $E_r$ wydzielana w tym całym procesie, czyli suma energii kinetycznej cząstki ${\beta }^{-}$ oraz energii kinetycznej antyneutrina $\bar{\nu }$, oraz energii fotonu $\gamma$ – w obu przypadkach – wynosi:

• $E_r=1,57\text{MeV}$

Pomijamy bardzo małą energię kinetyczną jądra kobaltu.

Uwaga! Kreski poziome na diagramach odpowiadają poszczególnym wartościom energii spoczynkowej jąder uczestniczących w całym procesie. Zachowano skalę – tzn. różnice między wartościami energii spoczynkowej jąder odpowiadają odległościom między kreskami. $E_{\text{0 Fe}}$ oznacza energię spoczynkową jądra żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym.

Spoczywające jądro żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu ${\beta }^{-}$, w wyniku którego powstają: cząstka ${\beta }^{-}$ (elektron), jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$, a także antyneutrino elektronowe $\bar{\nu }$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

W tym procesie jądro ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym może rozpadać się do niektórych stanów wzbudzonych jądra kobaltu. Rozważmy takie procesy, że jądro ${}^{59}\text{Fe}$ rozpadło się do jednego z pewnych dwóch stanów wzbudzonych jądra kobaltu: ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{X})}$ albo ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{Y})}$. Wartości energii spoczynkowej jąder kobaltu w tych stanach wzbudzonych X, Y wynoszą odpowiednio:

• $E_{\text{X Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,10\text{MeV}$
• $E_{\text{Y Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,29\text{MeV}$

gdzie $E_{\text{0 Co}}$ oznacza energię spoczynkową jądra ${}^{59}\text{Co}$ w stanie podstawowym.

Następnie wzbudzone jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$ przechodzi do stanu podstawowego i emituje przy tym foton $\gamma$. Możliwe schematy całego procesu przedstawiono na diagramach 1.–2. poniżej.

Energia $E_r$ wydzielana w tym całym procesie, czyli suma energii kinetycznej cząstki ${\beta }^{-}$ oraz energii kinetycznej antyneutrina $\bar{\nu }$, oraz energii fotonu $\gamma$ – w obu przypadkach – wynosi:

• $E_r=1,57\text{MeV}$

Pomijamy bardzo małą energię kinetyczną jądra kobaltu.

Uwaga! Kreski poziome na diagramach odpowiadają poszczególnym wartościom energii spoczynkowej jąder uczestniczących w całym procesie. Zachowano skalę – tzn. różnice między wartościami energii spoczynkowej jąder odpowiadają odległościom między kreskami. $E_{\text{0 Fe}}$ oznacza energię spoczynkową jądra żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym.

Spoczywające jądro żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu ${\beta }^{-}$, w wyniku którego powstają: cząstka ${\beta }^{-}$ (elektron), jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$, a także antyneutrino elektronowe $\bar{\nu }$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

W tym procesie jądro ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym może rozpadać się do niektórych stanów wzbudzonych jądra kobaltu. Rozważmy takie procesy, że jądro ${}^{59}\text{Fe}$ rozpadło się do jednego z pewnych dwóch stanów wzbudzonych jądra kobaltu: ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{X})}$ albo ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{Y})}$. Wartości energii spoczynkowej jąder kobaltu w tych stanach wzbudzonych X, Y wynoszą odpowiednio:

• $E_{\text{X Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,10\text{MeV}$
• $E_{\text{Y Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,29\text{MeV}$

gdzie $E_{\text{0 Co}}$ oznacza energię spoczynkową jądra ${}^{59}\text{Co}$ w stanie podstawowym.

Następnie wzbudzone jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$ przechodzi do stanu podstawowego i emituje przy tym foton $\gamma$. Możliwe schematy całego procesu przedstawiono na diagramach 1.–2. poniżej.

Energia $E_r$ wydzielana w tym całym procesie, czyli suma energii kinetycznej cząstki ${\beta }^{-}$ oraz energii kinetycznej antyneutrina $\bar{\nu }$, oraz energii fotonu $\gamma$ – w obu przypadkach – wynosi:

• $E_r=1,57\text{MeV}$

Pomijamy bardzo małą energię kinetyczną jądra kobaltu.

Uwaga! Kreski poziome na diagramach odpowiadają poszczególnym wartościom energii spoczynkowej jąder uczestniczących w całym procesie. Zachowano skalę – tzn. różnice między wartościami energii spoczynkowej jąder odpowiadają odległościom między kreskami. $E_{\text{0 Fe}}$ oznacza energię spoczynkową jądra żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym.

Spoczywające jądro żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu ${\beta }^{-}$, w wyniku którego powstają: cząstka ${\beta }^{-}$ (elektron), jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$, a także antyneutrino elektronowe $\bar{\nu }$. Antyneutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

W tym procesie jądro ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym może rozpadać się do niektórych stanów wzbudzonych jądra kobaltu. Rozważmy takie procesy, że jądro ${}^{59}\text{Fe}$ rozpadło się do jednego z pewnych dwóch stanów wzbudzonych jądra kobaltu: ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{X})}$ albo ${}^{59}{\text{Co}}^{(\text{Y})}$. Wartości energii spoczynkowej jąder kobaltu w tych stanach wzbudzonych X, Y wynoszą odpowiednio:

• $E_{\text{X Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,10\text{MeV}$
• $E_{\text{Y Co}}=E_{\text{0 Co}}+1,29\text{MeV}$

gdzie $E_{\text{0 Co}}$ oznacza energię spoczynkową jądra ${}^{59}\text{Co}$ w stanie podstawowym.

Następnie wzbudzone jądro kobaltu ${}^{59}\text{Co}$ przechodzi do stanu podstawowego i emituje przy tym foton $\gamma$. Możliwe schematy całego procesu przedstawiono na diagramach 1.–2. poniżej.

Energia $E_r$ wydzielana w tym całym procesie, czyli suma energii kinetycznej cząstki ${\beta }^{-}$ oraz energii kinetycznej antyneutrina $\bar{\nu }$, oraz energii fotonu $\gamma$ – w obu przypadkach – wynosi:

• $E_r=1,57\text{MeV}$

Pomijamy bardzo małą energię kinetyczną jądra kobaltu.

Uwaga! Kreski poziome na diagramach odpowiadają poszczególnym wartościom energii spoczynkowej jąder uczestniczących w całym procesie. Zachowano skalę – tzn. różnice między wartościami energii spoczynkowej jąder odpowiadają odległościom między kreskami. $E_{\text{0 Fe}}$ oznacza energię spoczynkową jądra żelaza ${}^{59}\text{Fe}$ w stanie podstawowym.

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej.

Do analizy zadań 1.1. i 1.2. przyjmij model zjawiska, w którym:

• ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu
• ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne
• podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome
• przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g=9,81{\text{ m/s}}^2$.

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej.

Do analizy zadań 1.1. i 1.2. przyjmij model zjawiska, w którym:

• ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu
• ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne
• podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome
• przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g=9,81{\text{ m/s}}^2$.

Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie (zobacz rysunek poniżej). Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $\beta$.

Przyjmij następujące dane:

• promienie walców są sobie równe: $R_1=R_2=R$
• masy walców są sobie równe: $m_1=m_2=m$ (walce wykonano z różnych materiałów)
• momenty bezwładności walców W1 i W2 względem osi każdego z nich wyrażają się – odpowiednio – wzorami: $$I_1=k_{1}m{R}^2\text{oraz}{I}_2=k_{2}m{R}^2$$ gdzie $k_1$ i $k_2$ są pewnymi współczynnikami oraz $k_1\ne k_2$.

Uwzględnij następujące założenia i warunki:

• siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
• ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.