Zadanie 5.3 — Astronomia · Matura 2023, poziom Rozszerzony

Matura 2023 • Maj • Rozszerzony • Stara formuła • Zad. 5.3

📊 5%

3 pkt

AstronomiaGrawitacja

Informacja do zadania:

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi $T_{S 2}$ = 16 lat ziemskich

• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_{P}$ = 120 au

• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_{A}$ = 1820 au.

Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.

Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $v$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

schemat

Informacja dodatkowa:

Załóżmy, że ciało C₁ krąży po orbicie O₁ wokół centrum grawitacyjnego o masie M₁, a ciało C2 krąży po orbicie O2 wokół centrum grawitacyjnego o masie M2. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas M₁ i M2 można obliczyć ze wzoru:

$\frac{M _{1}}{M _{2}} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{3} \cdot (\frac{T _{2}}{T _{1}})^{2}$

gdzie: T₁ i T₂ są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio – O₁ i O2, natomiast a₁ і a2 zależą od rodzaju orbity:

gdy orbity O₁ i O₂ są kołowe, to a₁ i a₂ są odpowiednio promieniami tych orbit
gdy orbita O₁ jest eliptyczna, a orbita O₂ jest kołowa, to a₁ jest długością półosi wielkiej orbity O₁, natomiast a2 jest promieniem orbity 02.

Zadanie 5.3

Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.2.-5.3. w przypadku, gdy orbity $O_{1}$ i $O_{2}$ są kołowe.