Zadanie 4.3 — Astronomia · Matura 2025, poziom Rozszerzony

Matura 2025 • Czerwiec • Rozszerzony • Stara formuła • Zad. 4.3

3 pkt

Astronomia

Informacja do zadania:

Satelity S1 oraz S2 poruszają się dookoła Ziemi jedynie pod wpływem grawitacji. Satelita S1 obiega Ziemię (Z) po orbicie kołowej, a satelita S2 obiega Ziemię po orbicie eliptycznej. Obie orbity leżą w jednej płaszczyźnie. Pomijamy wpływ innych ciał na ruch satelitów S1 oraz S2.

Poniżej podano niektóre oznaczenia i dane dla obu orbit:
• punkt $P$ jest wspólny dla obu orbit (zobacz rysunek)
• odległość punktu $P$ od środka Ziemi jest równa $r_{P} = 15000 km$
• największą odległość satelity S2 od środka Ziemi oznaczymy jako $r_{A}$
• odległości $r_{P}$ oraz $r_{A}$ wiąże relacja: $r_{A} = 3 r_{P}$ . Schemat orbit

Zadanie 4.3

Okres obiegu satelity S1 dookoła Ziemi oznaczymy jako $T_{1}$ , a satelity S2 – jako $T_{2}$ .

Oblicz iloraz $\frac{T _{1}}{T _{2}}$ . Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Okres obiegu ciała dookoła Ziemi po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej $a$ jest równy okresowi obiegu ciała dookoła Ziemi po orbicie kołowej o promieniu $r = a$ .