Zadanie 8.1 — Optyka · Matura 2026, poziom Rozszerzony

Promień światła P1 biegnie równolegle do osi symetrii zwierciadła sferycznego Z i pada na jego powierzchnię w punkcie $D$ pod kątem $\alpha$. Następnie promień światła odbity od zwierciadła Z w punkcie $D$ biegnie dalej i przecina oś symetrii zwierciadła w punkcie $P$.

Sytuację ilustruje rysunek (na rysunku nie oznaczono punktu $P$ ani promienia odbitego).
Punkt przecięcia osi symetrii zwierciadła z jego powierzchnią oznaczymy jako $O$.

Odległość punktu $P$ od punktu $O$ oznaczymy jako $x=|OP|$.Promień krzywizny zwierciadła wynosi $R$.
Punkt $S$ jest środkiem sfery zawierającej powierzchnię zwierciadła.

Kreską przerywaną oznaczono linię pomocniczą do konstrukcji, prostopadłą do odcinka $SD$.

Na rysunku wyznacz konstrukcyjnie i oznacz punkt $P$.

Następnie wyprowadź wzór na $x$ w zależności tylko od $R$ oraz od $\alpha$.

Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na $x.$

Wskazówka: Zauważ, że $|\angle DSO|=\alpha$.