Zadanie 5 — Grawitacja · Matura 2026, poziom Rozszerzony

Pewna sonda $\mathcal{A}$ krąży wokół Słońca po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły grawitacji Słońca (zobacz rysunek 1.).

Na krótki czas włączono silniki sondy, w wyniku czego wartość prędkości sondy zwiększyła się o $\Delta v_A$ (w kierunku stycznym do orbity) do takiej wartości $v_A$, że po wyłączeniu silników mogła ona uciec z pola grawitacyjnego Słońca i nieskończenie daleko od Słońca poruszać się z prędkością o wartości $v_{\infty A}$ (zobacz rysunek 2.).

Przyjmij następujące dane, oznaczenia i założenia:

• wartość prędkości sondy $\mathcal{A}$ w ruchu po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły grawitacji oznaczymy jako $v_{orA}$
• odległość sondy od środka $S$ Słońca oznaczymy jako $r_A$
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch sondy
• gdy włączono na krótki czas silniki sondy, to była ona jeszcze na orbicie kołowej.

Wyznacz $\Delta v_A$ w zależności tylko od $v_{orA}$ oraz $v_{\infty A}$.

Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na $\Delta v_A$.