Zadanie 4.3 — Dynamika · Matura 2026, poziom Rozszerzony

Bryła sztywna $B$ składa się z cienkiej obręczy o masie $M$ i o promieniu $R$ oraz z dwóch jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości $l_{\text{pręt}}=2R$ i o masie $m_{\text{pręt}}=\frac{M}{2}$ (zobacz rysunek poniżej).

Początkowo bryła $B$ toczy się po poziomym odcinku $XY$ drogi tak, że prędkość środka masy $O$ bryły jest stała, a jej wartość jest równa $v_B=1,4\text{ m/s}$.

Od punktu $Y$ bryła $B$ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość prędkości środka masy $O$ bryły zaczyna maleć.

Przyjmij, że:

• bryła toczy się cały czas bez poślizgu
• obręcz i pręty są jednorodne
• punkty $P_1$ i $P_2$ na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem
• poziomy odcinek drogi $XY$ łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)
• przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8{\text{ m/s}}^2$
• opory powietrza nie występują.

Na poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.

W tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem opisanych osi obrotu.

Bryła	Oś	Moment bezwładności
Pręt o długości $l_{\text{pręt}}$ i o masie $m_{\text{pręt}}$	Oś prostopadła do pręta, przechodząca przez jego środek	$I_{0\text{ pręt}}=\frac{1}{12}{m}_{\text{pręt}}{l}_{\text{pręt}}^2$
Obręcz o promieniu $R$ i o masie $M$	Oś prostopadła do płaszczyzny obręczy, przechodząca przez jej środek	$I_{0\text{ obręcz}}=M{R}^2$
Bryła $B$ (złożona z obręczy i prętów)	Oś prostopadła do bryły (czyli do płaszczyzny obręczy), przechodząca przez jej środek masy $O$ (oś $O$)	$I_{0B}=\frac{4}{3}M{R}^2$