Zadanie 5.3 — Grawitacja · Matura 2026, poziom Rozszerzony

Pewna planetoida $\mathcal{R}$ krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej jedynie pod wpływem siły grawitacji Słońca. Orbita planetoidy $\mathcal{R}$ leży w tej samej płaszczyźnie co orbita Ziemi i przecina się z nią w dwóch punktach (zobacz rysunek).

Przyjmij następujące dane i założenia:

• największą odległość planetoidy $\mathcal{R}$ od środka $S$ Słońca oznaczymy jako $r_A=|SA|$
• najmniejszą odległość planetoidy $\mathcal{R}$ od środka $S$ Słońca jest równa $r_P=|SP|=0,81$ au
• długość osi wielkiej orbity planetoidy $\mathcal{R}$ jest równa $|PA|=5,62$ au
• wartość prędkości planetoidy $\mathcal{R}$ w punkcie $A$ orbity oznaczymy jako $v_A$
• wartość prędkości planetoidy $\mathcal{R}$ w punkcie $P$ orbity jest równa $v_P=43,29$ km/s
• środek orbity planetoidy $\mathcal{R}$ oznaczymy jako $O$

oraz

• orbitę Ziemi traktujemy w przybliżeniu jako orbitę kołową
• odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $r_Z=1,0$ au
• okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_Z=1,00$ rok ziemski
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch planetoidy $\mathcal{R}$ oraz na ruch Ziemi.

Rysunek