Zadanie 11.4 — Astronomia · Matura 2015, poziom Rozszerzony

Matura 2015 • Czerwiec • Rozszerzony • Stara formuła • Zad. 11.4

2 pkt

Astronomia

Informacja do zadania:

Przyjmijmy, że rozkład masy w galaktyce jest sferycznie symetryczny, tzn. gęstość zależy tylko od odległości od środka galaktyki. W takim przypadku można wykazać, że na gwiazdę krążącą po orbicie kołowej wokół środka galaktyki (zob. ilustracja obok) działa tylko siła grawitacji pochodząca od materii zawartej wewnątrz sfery zawierającej orbitę gwiazdy i taka, jakby cała ta materia była skupiona w środku tej sfery. Ilustracja galaktyki z orbitą gwiazdy

Prędkość $v$ ciała 1 (np. gwiazdy) krążącego po orbicie kołowej wokół ciała 2 (np. jądra galaktyki) jest zależna od masy $M$ ciała 2 i od odległości $r$ między ciałami. Zależność ta wyraża się wzorem $GM = v^{2} r$ , gdzie $G$ jest stałą grawitacji.

Informacja dodatkowa:

Analizując rozkład masy w galaktyce na podstawie widocznych obiektów, możemy na podstawie podanego wzoru obliczyć prędkość $v$ gwiazdy krążącej wokół jądra galaktyki po orbicie kołowej o promieniu $r$ . Dla galaktyki M 33 otrzymano w ten sposób wykres zależności $v$ od $r$ – jeden z dwóch oznaczonych niżej jako 1 i 2. Drugi z wykresów przedstawia wyniki pomiarów prędkości gwiazd (wartości rzeczywiste).

Wykres zależności prędkości od promienia r dla galaktyki M33
Na podstawie: E. Corbelli i P. Salucci, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society

Rozbieżność między tymi dwoma wykresami jest uważana za dowód istnienia w galaktyce M 33 tzw. ciemnej materii – materii, której nie widzimy, ale która wpływa na ruch gwiazd, wywierając na nie siłę przyciągania.

Zadanie 11.4

Korzystając z danych na wykresie przedstawionym w informacji do zadań 11.3 i 11.4 {{ supplement:info_od_11_3_do_11_4 }} oraz z założenia o sferycznej symetrii, oblicz, jaką część masy galaktyki M 33 zawartej w kuli o promieniu 10 kiloparseków stanowi masa ciemnej materii.