Zadanie 4.2 — Dynamika · Matura 2018, poziom Rozszerzony

Matura 2018 • Czerwiec • Rozszerzony • Stara formuła • Zad. 4.2

2 pkt

Dynamika

Informacja dodatkowa:

Dodatkowa informacja do zadań 4.2.–4.3.

Zbadano doświadczalnie ruch skoczka po otwarciu spadochronu. Na podstawie pomiarów przyjęto model, w którym – dla niewielkich prędkości – siła oporu powietrza działająca na skoczka opadającego z otwartym spadochronem jest dana przybliżonym wzorem:
$F_{o p} = β d^{2} v^{2}$

gdzie $d$ jest średnicą otwartego spadochronu, $v$ oznacza chwilową wartość prędkości opadania skoczka z otwartym spadochronem, natomiast $β$ jest pewnym współczynnikiem zależnym m.in. od kształtu spadochronu. W opisanym przypadku $β$ = 2,6 kg/m³ oraz $d$ = 7 m.

Zadanie 4.2

Informacja do zadania:

Rozważamy ruch skoczka spadochronowego w ziemskim polu grawitacyjnym. W chwili początkowej tego ruchu prędkość skoczka względem Ziemi wynosi zero. Przez pewien krótki czas skoczek opada ruchem przyspieszonym bez otwartego spadochronu, a następnie go otwiera. Po otwarciu spadochronu prędkość skoczka zaczyna maleć i po pewnym czasie osiąga w przybliżeniu stałą wartość. Wartość tej granicznej prędkości zależy m.in. od średnicy spadochronu i masy skoczka wraz ze sprzętem. Przyjmij, że przyspieszenie ziemskie w obszarze ruchu skoczka jest stałe i wynosi $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ , a skoczek opada pionowo i przy bezwietrznej pogodzie.

Na podstawie przyjętego modelu zjawiska i zasad dynamiki wykaż, że kwadrat prędkości granicznej opadania skoczka jest proporcjonalny do masy skoczka wraz z całym sprzętem. Następnie oszacuj (z dokładnością do dwóch cyfr znaczących) wartość prędkości granicznej, gdy masa skoczka ze sprzętem wynosi 115 kg.