Zadanie 5.2 — Grawitacja · Matura 2020, poziom Rozszerzony

Matura 2020 • Próbna • Rozszerzony • Stara formuła • Zad. 5.2

2 pkt

Grawitacja

Informacja do zadania:

Rozważamy trzy ciała $A$ , $B$ , $C$ . Masa każdego z ciał wynosi $m$ , a rozkład masy w każdym z nich jest sferycznie symetryczny. Ciała położone są tak, że środki ich mas leżą wzdłuż jednej prostej $l$ . Odległość pomiędzy środkami mas ciał $A$ i $B$ wynosi $r$ i jest taka sama jak odległość pomiędzy środkami $B$ i $C$ (zobacz rysunek poniżej).

schemat

Wartość wypadkowej siły grawitacji, działającej na ciało $A$ i pochodzącej z oddziaływania grawitacyjnego z ciałem $B$ i ciałem $C$ , wyraża się wzorem:
$F = \frac{5}{4} \cdot \frac{G m ^{2}}{r ^{2}}$

Zadanie 5.2

Załóżmy, że zamiast ciał $B$ i $C$ mamy jedno sferycznie symetryczne ciało $D$ o masie $2 m$ . Środek ciała $D$ leży naprostej $l$ wtakiej odległości $x$ od środka $A$ , że wartość siły grawitacji działającej na ciało $A$ jest dokładnie taka sama jak poprzednio (tzn. jak w oddziaływaniu z ciałami $B$ i $C$ ).

A_D

Wykaż, wykonując obliczenia, że $x$ nie jest równe 1,5r.