Zadanie 3.1 — Grawitacja · Matura 2021, poziom Rozszerzony

Sonda kosmiczna o masie $m=10^4$ kg początkowo poruszała się swobodnie (jedynie pod wpływem grawitacji) dookoła Ziemi po orbicie kołowej o promieniu $r$, z prędkością orbitalną o wartości $v_{or}=7,56$ km/s (zobacz rys. 1.). W pewnym momencie włączono silniki odrzutowe sondy, odpowiednio zaprogramowane. Przez pewien czas na sondę działała siła odrzutu tak, że sonda poruszała się nadal po orbicie kołowej o promieniu $r$, a wartość prędkości tej sondy rosła (zobacz rys. 2.). Gdy sonda osiągnęła prędkość ${\vec{v}}_p$ w chwili $t_p$, silniki odrzutowe wyłączono (zobacz rys. 3.), a sonda zaczęła się oddalać od Ziemi.

Prędkość ${\vec{v}}_p$ uzyskana przez sondę w odległości $r$ od środka Ziemi była na tyle duża, że umożliwiała sondzie ciągłe oddalanie się od Ziemi oraz osiągnięcie w bardzo dalekiej odległości (gdzie wpływ pola grawitacyjnego Ziemi jest pomijalny) stałej prędkości o wartości $v_{\infty }=2,00$ km/s (zobacz rys. 4.). Masa Ziemi wynosi $M=5,97\cdot 10^{24}$ kg.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:
• pomijamy oddziaływanie sondy ze Słońcem oraz innymi ciałami, a także ruch orbitalny Ziemi
• pomijamy zmianę masy sondy podczas działania silników odrzutowych
• zakładamy, że energia potencjalna sondy bardzo daleko od Ziemi – gdzie wpływ grawitacji ziemskiej jest pomijalny – wynosi zero (zobacz rys. 4.): $E_{pot\infty }=0$.