Zadanie 4.4 — Praca, moc, energia mechaniczna · Matura 2022, poziom Rozszerzony

Matura 2022 • Próbna • Rozszerzony • Nowa formuła • Zad. 4.4

3 pkt

Praca, moc, energia mechanicznaGrawitacja

Informacja do zadania:

Satelita $S_{A}$ krąży dookoła Ziemi po orbicie kołowej A o promieniu $r_{A}$ , a satelita $S_{B}$ krąży dookoła Ziemi po orbicie kołowej B o promieniu $r_{B}$ . Oba satelity mają wyłączone silniki i poruszają się jedynie pod wpływem siły grawitacji Ziemi. Masy obu satelitów są jednakowe.

Orbity A i B leżą w jednej płaszczyźnie. Okres obiegu satelity $S_{A}$ po orbicie jest równy $T_{A} = 2, 0$ h, a okres obiegu satelity $S_{B}$ po orbicie jest równy $T_{B} = 12$ h.

W zadaniach 4.1.–4.4.:

• pomijamy oddziaływanie obu satelitów z innymi ciałami niebieskimi

• przyjmujemy, że energie potencjalne dążą do zera w nieskończoności.

Informacja dodatkowa:

Informacja do zadań 4.3.–4.4.

Satelita S_A wykonuje manewr przejścia z orbity $A$ na orbitę $B$ . W czasie tego manewru w punkcie $A$ włączono na krótki czas silniki i zmieniono wartość prędkości satelity S_A. Dalej satelita poruszał się z wyłączonymi silnikami po fragmencie orbity eliptycznej do punktu $B$ . Gdy satelita dotarł do punktu $B$ , to ponownie włączono na krótki czas silniki i zmieniono wartość prędkości satelity. Dalej satelita S_A poruszał się swobodnie po orbicie $B$ .

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment toru ruchu satelity S_A po obu orbitach kołowych i podczas przejścia pomiędzy orbitami. Orbita eliptyczna jest styczna do orbit $A$ i $B$ w punktach $A$ i $B$ . Przyjmij, że zmiany prędkości satelity odbywały się na krótkich (relatywnie) fragmentach toru, które można pominąć.

Rysunek

Zadanie 4.4

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć $W_{A B}$ – pracę siły ciągu silników podczas przejścia satelity z orbity $A$ na orbitę $B$ – w zależności od: $r_{A}$ , $r_{B}$ , masy Ziemi $M_{Z}$ , masy satelity $m$ oraz stałej grawitacyjnej $G$ .

Uwaga: Pomijamy zmianę masy satelity podczas działania silników.